けんとさんようこそ。
わたしは税理士ではないので、あくまでも参考情報です。そしてこの掲示板は公的な場所ですので、「一般的にこのくらいは・・・?」ということも説明できないことをお断りします。
お父様の意向を汲んでふさわしい方法があればとも思います。しかしけんとさんのお父様が相続税がかかるくらいの資産家、もしくはそうでないかがわかりません。(お父様が相続税を収めるくらいの資産家なら、しっかりと相続税対策をするべきだと思います。単におこずかいとして渡したい程度なら、もっとわかりにくい方法があるでしょう。)
そのほか、けんとさんのご兄弟などの合意もないと、後でもめごとになる可能性があります。
>1. このようにすれば税申告の必要がなく、税務署からのお尋ねも来ないという理解でよろしいでしょうか?
何とも言えません。たとえば資産家の場合、今後起こる相続の調査で毎年の海外送金がわかることがあります。(毎年定額を送金してると、最初から贈与を計画していたと判断され税金を課せられると聞いたことがあります。)
いずれにせよ税務署は、その気になればけんとさんのお父様のに資産に関する情報をすべて知ることもできます。
>2. 送付先の海外の税務署から問い合わせを受けるという可能性はあるのでしょうか(とりあえず欧州側では贈与税は発生しないようです)。欧州でなくとも、もしそのようなご経験、もしくはお話をご存知でしたらお聞かせいただけないでしょ
申し訳ありませんがわかりませんが国によって税制・調査が違います。ですから現地の国税当局にたずねていただくのが一番正確です。
>3.銀行の海外送金申込書にはなんと書き込めば後々面倒がないですか?
>(贈与と書くと調査対象になりやすいですか)
面倒うんぬんを考えるより、正確に説明することをすすめます。というのは税務署からおたずねが届くと、ウソの理由では説明がつかなくなります。
>4. 海外送金では使わない他の日本の銀行に居住者としてまだ口座があります。今回の一連の手続きの中で税務署や他の銀行に非居住者ということがわかってしまう可能性はありますか?
税務署は税金を取れるかどうかが問題になるだけですから、よほどのことがない限り銀行には連絡しないと思います。けんとさんの銀行口座に関しては、届け出住所に郵便物が届き、電話連絡がとれるならまず問題はないと思います。
>父の負担を減らすため、基本的に税務署からの問い合わせ、申告手続き等が一切発生しないようなやりかたを探しています。アドバイスいただけましたら幸いです。
「あいまいにしておいてもわからなければ・・・。」と考る人が多いと思います。(「木の葉を隠すなら森へ、人を隠すなら人ごみに」ということばがあります。)
しかし確実な方法はありません。税務署もプロですから、手間をかけてもまとまった税金を課すことができると考えるなら行動すると思います。
ですから今回の贈与の目的に合わせて、ふさわしい方法を検討することをすすめます。
以上、回答になっていませんが参考になればうれしく思います。